問題：已知a＞b＞c＞0，其中a，b和c皆為雙數，滿足a³+b³+c³=2248。求a+b+c。

答案：由於三數皆是雙數，把a，b和c分別設為2m，2n和2p，其中m，n和p皆為正整數。然後代入算式，得(2m)³+(2n)³+(2p)³=2248，化簡得m³+n³+p³=281。

由於m最大，而剛好小於281的立方數是216=6³，等號兩方減去216，得n³+p³=65，又看到剛好小於65的立方數是64=4³，那就看出m、n和p，分別是6、4和1，從而a、b和c分別為12、8和2，故此a+b+c=12+8+2=22。

留意這裏沒有其他解，因為若果m為6時，n³+p³=65，易驗算得只有一組解。若果m不是6，立方和最大為5³+4³+3³=216＜281。

解題時先利用未知數為雙數的特性，將未知數全新表示後化簡，得到數字較小的方程。之後由剛好小於等號右方的數開始檢查，依次找到三個數，最後考慮到若最大數取較小的值時，其立方和無法等於右方的數，故此答案唯一。

開始做題後若果沒有先去化簡至較小的形式，在開始的立方和為2248的情境下，想要試算各個立方和，得出的各個數就大得多了，討論情況較為複雜；而把立方和變為281，試算就變得容易了，但還是要確定答案是否唯一。

大致而言，確定唯一性是有跡可尋的，因為未知數都是由大至小的順序排列，最大數變小時，立方和也會變得很小，而且立方和只是281，這個數以下的立方數是很少的，即使全部試出來也較為容易。

以競賽題目的水平來說，這道題在一些較高層次的競賽上也可以作為入門題目，不過要附加證明才算是比較高層次，不然若只是計算題的話，說不定剛巧試對了數字就當作答案了，可能會忽略了答案唯一性的考慮。

題解裏的最後一行算式其實很優美，3³+4³+5³=6³，剛好是四個連續數，而且各數的次方相同，這個看來很有數學的美感。類似的情況還有用畢氏定理時，經常看到的32+42=52。等號兩邊有各個項相加，而各項的次方相同，這個是等冪和的問題，其中冪就是次方意思。等冪和問題是數論裏一個有趣的問題，有興趣的讀者可以在網上找些資料看。

在做數學題的過程中，一方面要在學習上要鍛煉嚴格的推論方式；另一方面，見到一些優美的算式，也可以停下來欣賞一下。由於各樣的計算，數字本身本身可以很繁複，所以平常難以看出其中的關係。若果突然發現，有些數字之間竟然有這麼簡潔明瞭的連繫，頗有美感。

我們思考時容易對複雜的現象厭煩，喜歡簡明的事理。只是太過簡單的話，就容易變得乏善可陳，沒什麼新意。就像今天介紹得題目，通過複雜的計算得到深刻的數字關係，最終表達式又簡潔，看起來就內外兼備，而數學裏算式的美感，許多時就在於這一點。

● 張志基

簡介：奧校於1995年成立，為香港首間提供奧數培訓之註冊慈善機構(編號：91/4924)，每年均舉辦「香港小學數學奧林匹克比賽」，旨在發掘在數學方面有潛質的學生。學員有機會選拔成為香港代表隊，獲免費培訓並參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽：www.hkmos.org。